Мустафа бек Ага бек оглы Топчубашов родился 17 августа 1895-го года в селе Гейкумбет близ Иревана. Окончив с золотой медалью Иреванскую гимназию, поступил на Медицинский факультет Киевского Государственного Университета, после окончания учебы работал сначала в Нахчыване, затем в Баку. В 1926-ом году был отправлен в научную командировку в Германию. В 1930-ом году защитил докторскую диссертацию на тему «Клиническое, патологическое и хирургическое лечение малярийной эпленомегалии» и в том же году был избран заведующим кафедрой Факультетской хирургии Азербайджанского Медицинского Института. В 1937-ом году впервые в истории мировой науки анестезиологии открыл оригинальный метод обезболивания – инъекционный эфирно-масляный наркоз – метод анальгезии.
Мустафа Топчубашев был одним из первых членов созданной в 1945-ом году Академии Наук Азербайджана. В 1945–1950-х годах работал главным хирургом Министерства Здравоохранения Азербайджанской ССР, в 1945–1948-х годах – директором Института Экспериментальной Медицины АН Азербайджана. В 1949-ом году был избран членом-корреспондентом, а в 1960-ом году – действительным членом Академии Медицинских Наук СССР. Топчубашов также был почетным членом Болгарской академии.
Мустафа Топчубашев в разное время дважды (1951–1956 и 1969–1981) занимал пост вице-президента Академии Наук Азербайджанской ССР. На протяжении многих лет избирался депутатом Верховного Совета Азербайджана, в 1953–1955-х и 1967–1971-х годах был председателем Верховного Совета Азербайджанской ССР.
В 1940-ом году Мустафа бек Топчубашев был удостоен почетного звания «Заслуженный деятель науки», а в 1975-ом году – «Герой Социалистического Труда». В 1943-ом году стал лауреатом премии «Сталин» (Государственной премии СССР). 4 раза награжден орденами «Ленина», орденами» и рядом медалей «Октябрьской революции» и «Трудового Красного знамени.
Академик М.Топчубашов скончался 20 ноября 1981-го года в Баку.